OPERACIONES VECTORIALES

ROTACIONAL

Rotacional en coordenadas cartesianas

El rotacional de una función vectorial es el producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:

donde i,j,k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z. También se puede expresar en la forma de un determinante: 

Rotacional en coordenadas cilíndricas

El rotacional en un sistema de coordenadas polar cilíndrica, expresado en la forma de un determinante es:

Rotacional en coordenadas esféricas

El rotacional en un sistema de coordenadas polar esférica, expresado en la forma de un determinante es:

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial:

en coordenadas rectangulares se define como el producto escolar del operador nabla por la función

La divergencia es una función escalar del campo vectorial. El  teorema de la divergencia es una herramienta matemática importante en la Electricidad y el Magnetismo. 

Divergencia en diferentes coordenadas

Comparada con la divergencia en coordenadas rectangulares:

En coordenadas polar cilíndrica

Y en coordenadas polar esférica

GRADIENTE

En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis vectorial, el gradiente o también conocido como vector gradiente,​ denotado ${\displaystyle \nabla f}$ de un campo escalar ${\displaystyle f}$es un campo vectorial. El vector gradiente de  evaluado en un punto genérico  del dominio de , (), indica la dirección en la cual el campo  varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de  en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla  seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a campos  vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Gradiente en diferentes coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

Para coordenadas cilíndricas (${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=\rho }$) resulta

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

y para coordenadas esféricas (${\displaystyle h_{r}=1}$, ${\displaystyle h_{\theta }=r}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta }$)

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}$